Перпендикуляр

Вижте пояснителната страница за други значения на Перпендикуляр.

В геометрията две прави се наричат перпендикулярни, ако едната образува с другата два равни съседни ъгъла. Аналогично би било да наречем едната перпендикуляр към другата. Точката, в която тази права пресича другата, се нарича пета на перпендикуляра. Следователно на Фигура 1 правата AB е както перпендикуляр към CD през точка B, така и перпендикулярна на CD през точка B.

Ако две прави са перпендикулярни, двата равни ъгъла, които сеполучават, се наричат "прави ъгли". Тяхната големина е равна на 90°, 100 града или $\pi \over 2$ rad.

За сравнение вж. успоредност.

Аналитично представяне

Чрез наклон

В декартова координатна система две прави $L$ е $M$ могат да бъдат описани чрез уравненията

L:\;y=ax+b,

M:\;y=cx+d,

ако никоя от тях не е перпендикулярна на оста Ox. Тогава $a$ и $c$ са наклоните на двете прави. Правите $L$ и $M$ са перпендикулярни тогава и само тогава, когато произведението на наклоните им е -1, тоест $ac=-1$ .

Чрез скаларно умножение на вектори

Тъй като скаларното произведение на два вектора е равно на произведението на дължините им, умножено по косинуса на ъгъла между тях, в много геометрични задачи, в които се доказва или използва перпендикулярност, е удачно да използваме векторен апарат. Тъй като cos(90°)=0, достатъчно е да докажем, че скаларното произведение на ненулевите вектори а^→ и b^→ е равно на нула, с което доказваме, че те са перпендикулярни. Вярно е и обратното – ако ненулевите вектори а^→ и b^→ са перпендикуларни, то скаларното им произведение е равно на нула, чрез което лесно и удобно могат да бъдат доказани много други твърдения.

Построяване на перпендикуляр в дадена равнина

Фиг. 2 - Построяване на перпендикуляр (синьо) към правата AB през точка P.

За да построим перпендикуляра към AB през P с помощта на линийка и пергел, правим следното (Фиг. 2):

1 (червено): построяваме окръжност K с център P и произволен радиус d. K∩AB в точките A' и B', които са равноотдалечени от P.
2 (зелено): Построяваме окръжности K₁ и K₂ с центрове съответно точките A' и B' и радиуси съответно A'Р и B'Р, следователно и двете минават през точка P. Нека Q е другата обща точка на K₁ и K₂.
3 (синьо): PQ⊥AB.

Доказателство за тази перпендикулярност намираме чрез еднаквостта на QPA' и QPB' по три равни страни, от което следва, че ъглите OPA' и OPB' са равни. След това по две равни страни и ъгъл между тях триъгълниците OPA' и OPB' са еднакви, от което следва, че ъглите POA и POB са равни.

Перпендикулярност в пространството

Перпендикулярност на две кръстосани прави

Ъгъл между две кръстосани прави $a$ и $b$ се нарича ъгълът между $a$ и $b$ ₁, където $b$ ₁ е права, успоредна на $b$ , минаваща през точка $M$ , лежаща върху $a$ . Две кръстосани прави се наричат перпендикулярни, ако ъгълът, който слючват, е прав.

Перпендикулярност на права и равнина

Правата $a$ се нарича перпендикулярна на равнината α, тогава и само тогава, когато всяка права в равнината α е перпендикулярна на $a$ . По теорема достатъчно условие за перпендикулярност между права и равнина е в равнината да съществуват две пресичащи се прави $b$ и $c$ , които са перпендикулярни на $a$ . Следователно всяка права $t$ , успоредна на $a$ , където $a$ е перпендикулярна на равнината α, също е перпендикулярна на α.

Перпендикулярност на две равнини

Когато две равнини се пресекат, между тях се образува двустенен ъгъл. Линейният ъгъл на един двустенен ъгъл е такъв ъгъл, чиито рамене лежат съответно в двете равнини, които се пресичат, и едновременно с това са перпенсикулярни на пресечницата на тези две равнини. Когато линейният ъгъл на двустенния ъгъл на две равнини е прав, тези равнини се наричат перпендикулярни.

Вижте също